Имея в виду табличные интегралы:

[tex] \ [/tex]

[tex] 1T). \ \ \ \ \int{dx} = x + C \ ; [/tex]

[tex] 2T). \ \ \ \ \int{x^n} \, dx = \frac{ x^{n+1} }{ n + 1 } + C \ ; \ \ \ \ n eq -1 \ ; [/tex]

[tex] 3T). \ \ \ \ \int{ \frac{dx}{x} } = \ln{|x|} + C \ ; [/tex]

выведем ещё один:

учтём, что:

[tex] dx^2 = 2xdx \ ; \ \ \Rightarrow \ \ 2xdx = dx^2 \ ; \ \ \Rightarrow \\\\ \Rightarrow \ \ \int{ f(x) } \, xdx = \frac{1}{2} \int{ f(x) } \, 2xdx = \frac{1}{2} \int{ f(x) } \, dx^2 \ ; [/tex]

тогда:

[tex] \int{ \frac{x}{ x^2 \pm a } } \, dx = \frac{1}{2} \int{ \frac{ 2xdx }{ x^2 \pm a } } = \frac{1}{2} \int{ \frac{ dx^2 }{ x^2 \pm a } } = \frac{1}{2} \int{ \frac{ d( x^2 \pm a ) }{ x^2 \pm a } } = \frac{1}{2} \ln{ | x^2 \pm a | } + C \ ; [/tex]



Итак:

[tex] 1T). \ \ \ \ \int{dx} = x + C \ ; [/tex]

[tex] 2T). \ \ \ \ \int{x^n} \, dx = \frac{ x^{n+1} }{ n + 1 } + C \ ; \ \ \ \ n eq -1 \ ; [/tex]

[tex] 3T). \ \ \ \ \int{ \frac{dx}{x} } = \ln{|x|} + C \ ; [/tex]

[tex] 4T). \ \ \ \ \int{ \frac{x}{ x^2 \pm a } } \, dx = \frac{1}{2} \ln{ | x^2 \pm a | } + C \ ; [/tex]



Возьмём интеграл:

[tex] \int{ d ( arcCtg{x} ) } = arcCtg{x} + C \ ; [/tex]

[tex] \int{ d ( sh{x} ) } = sh{x} + C \ ; [/tex]



Возьмём интеграл:

[tex] \int{ ( (x-3)^5 - (5-x)^3 ) } \, dx = \int{ (x-3)^5 } \, d(x-3) + \int{ (x-5)^3 } \, d(x-5) = \\\\ = \frac{ (x-3)^6 }{6} + \frac{ (x-5)^4 }{4} + C \ ; [/tex]

Проверим:

[tex] ( \frac{ (x-3)^6 }{6} + \frac{ (x-5)^4 }{4} + C )'_x = ( \frac{ (x-3)^6 }{6} )'_x + ( \frac{ (x-5)^4 }{4} )'_x = \\\\ = 6 \cdot \frac{ (x-3)^{6-1} }{6} + 4 \cdot \frac{ (x-5)^{4-1} }{4} = (x-3)^5 - (5-x)^3 \ ; [/tex]



Возьмём интеграл:

[tex] \int{ \frac{dx}{ (x+11)^4 } } = \int{ (x+11)^{-4} } \, d(x+11) = \\\\ = \frac{ (x+11)^{-4+1} }{ -4+1 } + C = - \frac{1}{ 3 (x+11)^3 } + C \ ; [/tex]

Проверим:

[tex] ( - \frac{1}{ 3 (x+11)^3 } + C )'_x = (-3) \cdot ( - \frac{1}{ 3 (x+11)^{3+1} } ) = \frac{1}{ (x+11)^4 } \ ; [/tex]



Возьмём интеграл:

[tex] \int{ \frac{2dx}{7x+1} } = 2 \int{ \frac{dx}{7x+1} } = \frac{2}{7} \int{ \frac{d(7x)}{7x+1} } = \frac{2}{7} \int{ \frac{d(7x+1)}{7x+1} } = \frac{2}{7} \ln{|7x+1|} + C \ ; [/tex]

Проверим:

[tex] ( \ \frac{2}{7} \ln{|7x+1|} + C )'_x = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{7x+1} \cdot 7 = \frac{2}{7x+1} \ ; [/tex]



Возьмём интеграл:

[tex] \int{ \frac{5xdx}{3x^2-2} } = \frac{5}{2} \int{ \frac{2xdx}{3x^2-2} } = \frac{5}{2} \int{ \frac{dx^2}{3x^2-2} } = \\\\ = \frac{5}{6} \int{ \frac{d3x^2}{3x^2-2} } = \frac{5}{6} \int{ \frac{d(3x^2-2)}{3x^2-2} } = \frac{5}{6} \ln{ | 3x^2-2 | } + C \ ; [/tex]

Проверим:

[tex] ( \frac{5}{6} \ln{ | 3x^2-2 | } + C )'_x = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{3x^2-2} \cdot 3 \cdot 2x = \frac{5x}{3x^2-2} \ ; [/tex]





З А Д А Н И Е:

Найти неопределённый (обычный) интеграл и

проверить его дифференцированием (взять проиводную, кроме 1-ого номера):


[tex] 1a). \ \ \ \ \int{ d ( arcsin{x} ) } \ ; [/tex]

[tex] 1b). \ \ \ \ \int{ d|x| } \ ; [/tex]

[tex] 1c). \ \ \ \ \int{ d \ln{ arctg{x} } } \ ; [/tex]


[tex] 2a). \ \ \ \ \int{ ( 8x^3 - 12(2-x)^5 ) } \, dx \ ; [/tex]

[tex] 2b). \ \ \ \ \int{ ( 28(37-x)^{111} - 19(3+x)^{37} ) } \, dx \ ; [/tex]


[tex] 2c). \ \ \ \ \int{ \frac{6dx}{ (x-12)^3 } } \ ; [/tex]

[tex] 2d). \ \ \ \ \int{ \frac{12dx}{ (19-x)^7 } } \ ; [/tex]


[tex] 3a). \ \ \ \ \int{ \frac{3dx}{ 9-2x } } \ ; [/tex]

[tex] 3b). \ \ \ \ \int{ \frac{2dx}{ 3x-7 } } \ ; [/tex]


[tex] 4a). \ \ \ \ \int{ \frac{4xdx}{ 2x^2-5 } } \ ; [/tex]

[tex] 4b). \ \ \ \ \int{ \frac{11xdx}{ 7x^2+6 } } \ ; [/tex]

[tex] 4c). \ \ \ \ \int{ \frac{3xdx}{ (3x)^2-2 } } \ ; [/tex]