Нужно привести примеры недеференцируемости; a) непрерывной функции б) обладающей непрерывними частными производными в)непрерывной и обладающей частными производными

1. Частные производные первого порядка. Пусть функция  определена в области  и . Тогда при малых  определено ее частное приращение по : .

         Определение. Частной производной функции  по переменной   в точке  называют предел

,

если он существует.

         Частную производную по  обозначают одним из следующих символов:

.

Аналогично определяется частная производная по  и вводятся ее обозначения.

         Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

         Пример. Найти частные производные функции .

 Имеем:

,    . ^

         2. Частные производные высших порядков. Рассматривая частные производные  и  как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения

,     

называют частными производными второго порядка функции  по  и по  соответственно, а выражения

,     

– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , ,  и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т.д.

         Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки функция  имеет смешанные частные производные  и , причем эти производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке:

=.

         Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции  не зависят от порядка дифференцирования в точке .