Решить неравенство
[tex] \frac{1}{sin x^{2} } +ctgx-3\ \textless \ 0[/tex]

эм, 1/sin^2x это ctg^2x+1+ctgx<3, отсюда выносим ctgx(ctg+1)<3 разве не так?

потом приводим каждые части ctg<3 ctg<2 разве не так?

ctg²x+1 =1/sin²x ⇒ ctg²x=(1/sin²x)-1; Неравенство примет вид ctg²x+ctgx -2<0

ctgx(ctg+1)<3 неравенства, в которых левая часть разложена на множители, сравнивают только с нулем!

ОДЗ: sinx≠0         x≠πk, k∈Z(1/sin²x)+(cosx/sinx)-3<0;(1+cosxsinx-3sin²x)/sin²x<0Так как sin²x ≥0 при любом х, то при х≠πk, k∈Z1+cosxsinx-3sin²x<0Заменим1=sin²x+cos²xsin²x+cos²x+cosxsinx-3sin²x <0илиcos²x+cosxsinx-2sin²x <0Делим на sin²x≠0:сtg²x+ctgx-2<0Замена переменной:ctg x=tt²+ t -2 <0D=1+8=9t=(-1-3)/2=-2  или  t=(-1+3)/2=1___+___(-2)___-___(1)_____+___-2 <  t <1  -2 ctgx <1.Cм. рисунок в приложении.arcctg (-2)=π-arcctg2.π-(arctg2)+πn < x< (π/4)+πn, n∈Z    О т в е т. π-(arctg2)+πn < x < (π/4)+πn, n∈Z.