Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Найти неопределенные интегралы , используя выделение полного квадрата
    ∫ 11x-3 / (x^2+6x+13) dx

Ответы 1

  • \displaystyle I=\int\frac{11x-3}{x^2+6x+13}\,dxНайдем производную знаменателя и выделим её в числителе.\displaystyle (x^2+6x+13)'=2x+6; \ 11x-3=5.5(2x+6)-36Теперь интеграл разбивается на два.\displaystyle I=\int\frac{5.5(2x+6)}{x^2+6x+13}\,dx-\int\frac{36}{x^2+6x+13}\,dx= \\ \\ 5.5\int\frac{2x+6}{x^2+6x+13}\,dx-36\int\frac{1}{x^2+6x+13}\,dx =I_1-I_2Находим I₁. Сделаем замену u=x²+6x+13, тогда du=(2x-6)dx - чего мы и добивались, выделяя в числителе производную знаменателя.\displaystyle I_1=5.5\int \frac{du}{u}=5.5\ln(u)+C_1=5.5\ln(x^2+6x+13)+C_1 Теперь займемся I₂.Выделим в знаменателе полный квадрат.x²+6x+13 = (x²+2·3·x+3²)-3²+13 = (x+3)²+4Сделаем замену u=x+3, тогда du=dx и вычислим I₂\displaystyle I_2=36\int \frac{du}{u^2+4} Это табличный интеграл:\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+a^2}= \frac{1}{a}\, arctg \frac{x}{a}+C Тогда можно записать\displaystyle I_2= 36\frac{1}{2}\,arctg \frac{u}{2}+C_2=18\,arctg \frac{x+3}{2}+C_2 Окончательно получаем\displaystyle I=5.5\ln(x^2+6x+13)-18\,arctg \frac{x+3}{2}+C

    • Автор:

      montoro
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years