тело движется по прямой так ,что расстояние s до него от некоторой точки a этой прямой изменяется по закону s=0.51t^2-3t+8(v).где t - время движения в секундах.Найдите минимальное расстояние,на которое тело приблизится к точке a

) Тело движется по прямой так что расстояние S от начальной точкиизменяется no закону S = 3t + t² (м), где t - время движения в секундах.Найдите скорость тела через 3 с после начала движения.Решение:Найдем функцию скорости как производную от функции расстояния по времени:Найдем значение скорости через 3 с после начала движенияV = 3 + 3² = 3 + 9 = 12 м/сОтвет: 12 м/с2) Найти точки экстремума функции f(x) = 3 + 7x - 4х²Решение:Найдем производную функцииf'(x) = (3 + 7x - 4х²)' = (3)' + (7x)' - (4х²)' = 0 + 7 - 4*2x = 7- 8xНайдем критические точки         f'(x)=0  ⇔ 7-8x=0                            8x=7                              x=0,875На числовой прямой отобразим эту точку и знаки производной полученные по методу подстановки. Например при х=0 f'(0)=7>0    +      0     ----------!-------------           0,875              Функция возрастает на промежутке (-∞;0,875) так как производная на этом интервале числовой прямой больше нуляФункция убывает на промежутке (0,875;+∞) так как производная на этом интервале числовой прямой меньше нуляВ точке х=0,875 функция имеет локальный максимум.у(0,875) =3+7*0,875+4*(0,875)² = 12,1875Ответ: х=0,875; y=12,1875 - максимум 3) Тело движется по прямой так, что расстояние S ( в метрах) от него доточки В этой прямой изменяется по закону S(t) = 2t³ - 6t² + 6 (t - времядвижения в секундах). Чему будет равно ускорение, через 2 секундыдвижения?Решение: Найдем функцию скорости как производную функции расстояния V(t) =S'(t) = (2t³ - 6t² + 6)' = (2t³)' - (6t²)' + (6)' =2*3t² -6*2t +0 = 6t² -12t (м/с)Найдем функцию ускорения как производную скорости по времени a(t) = V'(t) = (6t² - 12t)' = (6t²)' - (12t)' = 6*2t  -12 =12t - 12  (м/с²)Найдем ускорение тела через 2 секунды после начала движенияа(2) =12*2-12=12 м/с²Ответ 12 м/с²4) Дана функция f(x) = 2x² - х + 1. Найти координаты точки ее графика, в котором угловой коэффициент касательной к нему равен 7.Решение:Угловой коэффициент касательной функции в точке равен производной функции в этой точкеНайдем производную функцииf'(x) = (2x² - х + 1)' = 4x-1Поскольку угловой коэффициент касательной равен 7 то можно записать, что             4х - 1 = 7                  4х = 8                    х = 2f(2) = 2*2² -2+1 = 8  - 1 =7Ответ: х=2; у=7  5) Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба f(x) = 2х³+ 9x² - 24x. Решение:Найдем первую производную функцииf'(x) = (2х³ + 9x² - 24x)'  =2*3x²+9*2x-24 = 6x² + 18x - 24Найдем вторую производную функцииf"(x) = (6x² + 18x - 24)' = 6*2x + 18 - 0 =12x+18Найдем критические точкиf"(x)=0  ⇔ 12x+18 =0                       12x = -18                           x=-1,5На числовой прямой отобразим эту точку и знаки второй производной     -           0            +---------------!----------------               -1,5Функция вогнута вниз на интервале х∈(-1,5;+∞) так как вторая производная больше нуляФункция выпукла вверх на интервале х∈(-∞;-1,5) так как вторая производная меньше нуляВ точке  х=-1,5 функция имеет точку перегибаy(-1,5) = 2(-1,5)³+ 9(-1,5)² - 24(-1,5) = 49,5Ответ: вогнута вниз на интервале х∈(-1,5;+∞) ; выпукла вверх на интервале х∈(-∞;-1,5);х=-1,5 y=49,5 точка перегиба