По определению, n ! = 1 х 2 х 3 ? х............х n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! х 2! х 3! х ............х 20! , чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа? - №22135379

По определению, n ! = 1 х 2 х 3 ? х............х n .
Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! х 2! х 3! х ............х 20! ,
чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  julius4aov
- 6 лет назад

Ответы 1

Ответ:
10!
Пошаговое объяснение:
Расставим скобки, собрав пары соседних сомножителей:
$1!\cdot2!\cdot3!\cdot4!\cdots19!\cdot20!=(1!\cdot2!)\cdot(3!\cdot4!)\cdots(19!\cdot20!)=\star$
Каждая скобка представляет собой произведение вида
$n!\cdot(n+1)!=n!\cdot(1\cdot2\cdot3\cdots n\cdot(n+1))=n!\cdot n!\cdot(n+1)=(n!)^2\cdot(n+1)$
Тогда
$\star=(1!)^2\cdot2\cdot(3!)^2\cdot4\cdot(5!)^2\cdot6\cdots(19!)^2\cdot20=(1!\cdot3!\cdots19!)^2\times\\\times(2\cdot4\cdot6\cdots20)=\heartsuit$
Первый множитель представляет собой полный квадрат, во втором все сомножители делятся на 2:
$2\cdot4\cdot6\cdots20=(2\cdot1)\cdot(2\cdot2)\cdots(2\cdot10)=2^{10}\cdot(1\cdot2\cdots10)=2^{10}\cdot10!$
Таким образом,
$\heartsuit=(1!\cdot3!\cdots19!)^2\cdot2^{10}\cdot10!=(1!\cdot3!\cdots19!\cdot2^5)^2\cdot10!$
Чтобы выражение осталось полным квадратом, достаточно вычеркнуть 10!.
- Автор:
  patty1utx
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years