kak рещат Даны координаты вершин пирамида АВСД. Требуется найти: 1) длину ребра , 2) угол между ребрами и , 3) проекцию вектора на вектор , 4) уравнение прямой AB, 5) уравнение плоскости ABC,. Сделать чертеж.
А (9,5,5); В (-3,7,1); С (5,7,8); Д (6,9,2)

Даны вершины пирамиды: А (9,5,5); В (-3,7,1); С (5,7,8); Д (6,9,2).1)   Расчет длин сторон.  АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²+(Zв-Zа)²)= √164  = 12,8062,BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²+(Zс-Zв)²) = √113 = 10,6301, AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²+(Zс-Zа)²) = √29 = 5,38516, АД = √((Хд-Ха)²+(Уд-Уа)²+(Zд-Zа)²)= √34 = 5,83095, BД = √((Хд-Хв)²+(Уд-Ув)²+(Zд-Zв)²) = √86 = 9,27362, CД = √((Хд-Хс)²+(Уд-Ус)²+(Zд-Zс)²) = √41 = 6,40312.2) угол между ребрами.Определяем координаты векторов, которыми являются рёбра пирамиды.                                                            x      y     z Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} =    -12     2    -4, Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB} =     8      0      7, Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} =    -4      2      3, Вектор AД={xД-xA, yД-yA, zД-zA} =     -3      4     -3, Вектор BД={xД-xB, yД-yB, zД-zB} =      9      2      1, Вектор CД={xД-xC, yД-yC, zД-zC} =     1      2      -6.Угол между рёбрами определяем по формуле:                  cos              радиан                 градусов < ABC    0.910879        0.425388              24.37293693 < BCA   -0.19216         1.76415518          101.078646 < CAB    0.580015       0.95204948            54.54841706 < ДBА    0.909395       0.42896892            24.57810892 < ДAB    0.74994         0.72282463            41.41480038 < AДB   -0.40685         1.9897991            114.0070907 < BДC    0.117885       1.45263702             83.22997044 < ДCB    0.499514       1.04775851             60.03214053 < CBД    0.80138         0.64119712             36.73788903 < AДC    0.616022       0.907113                 51.97376 < ДСA    0.522013       1.021587                 58.5326 < SAC    0.350311       1.212893                 69.49364   3) проекцию вектора на векторПроекция b на a равна (a · b)/|b|.АВ =а, ВС = b.

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = (-12) · 8 + 2 · 0 + 4 · 7 = -96 + 0 + 28 = = -68

Найдем модуль вектора:

|b| = √(bx² + by² + bz²) = √(8² + 0² + 7²) = √(64 + 0 + 49) = √113.Проекция b на a =  -68/√113 ≈ -6,3969019 (это ВС на АВ).4) уравнение прямой AB..Получаем каноническое уравнение:x+6y-3z-24 = 0  это же уравнение в общем виде.5) уравнение плоскости ABC.Уравнение плоскости:A · x + B · y + C · z + D = 0 .Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0 ,A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0 ,A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0 .Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:A · (9) + B · (5) + C · (5) + D = 0 ,A · (-3) + B · (7) + C · (1) + D = 0 ,A · (5) + B · (7) + C · (8) + D = 0 .Получим уравнение плоскости:- 7 · x - 26 · y + 8 · z + 153 = 0 .Есть ещё один вариант получения уравнения плоскости по координатам точек: Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение определяется по такой формуле:(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.