Докажите что уравнение √x^2-2x-3 · ㏒₂(1-x²) =0 не имеет корней.

Запросто. Мы изучаем ОДЗ.

Если мы обнаружили , что множество допустимых значений выражения пусто, то решений точно нет и на остальные навороты можно не смотреть.

Подкоренное выражение (x-1)^2-4 отрицательно, если х меньше 3 и больше -1. Логарифм имеет смысл только при  х меньше 1 и больше -1.Значит решений нет.Можно было бы и подетальнее: произведение равно 0 , если любой из сомножителей равен 0. Логарифм равен 0, если  х=0, но тогда под корнем -3,Корень равен 0, если х=3 или х=-1, но тогда логарифм не имеет смысла.В данном случае важно, что ОДЗ-пусто.