y'=x/y+y/x решить диф.ур.

Ответы 1

Убедимся что данное дифференциальное уравнение является однородным. Для этого воспользуемся условием однородности $y'= \dfrac{\lambda x}{\lambda y} + \dfrac{\lambda y}{\lambda x}$ Получаем $y'= \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$ То есть, данное уравнение - однородное.Исходное уравнение перейдёт к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены: $y=ux$ тогда $y'=u'x+u$ $u'x+u= \dfrac{x}{ux} + \dfrac{ux}{x} \\ \\ u'x+u= \dfrac{1}{u} +u\\ \\ u'x= \dfrac{1}{u}$ Получили уравнение с разделяющимися переменными $\dfrac{du}{dx} \cdot x= \dfrac{1}{u} \\ \\ udu= \dfrac{dx}{x}$ Проинтегрируем обе части уравнения $\displaystyle \int\limits {u} \, du= \int\limits { \dfrac{dx}{x} } \, \\ \\ u^2=2\ln x+C\\ u=\pm \sqrt{2\ln x+C}$ Обратная замена $\dfrac{y}{x} =\pm \sqrt{2\ln x+C}$ - общий интеграл $y=\pm x \sqrt{2\ln x+C}$ - общее решение.Ответ: $y=\pm x \sqrt{2\ln x+C}$
- Автор:
  dustynem2
- 4 года назад
- 0
Добавить свой ответ