Пусть f(0)=0, f(1)=3/2, f(n)=5/2f(n-1)-f(n-2), для n>=2. Вычислите значение

Ответы 1

Попробуем найти решение рекуррентного соотношения f(n + 2) = 5/2 * f(n + 1) - f(n)в виде f(n) = a^n.a^(n + 2) = 5/2 a^(n + 1) - a^nСокращаем на a^n: a^2 = 5/2 a - 12a^2 - 5a + 2 = 0a = 2 или a = 1/2Заметим, что если f(n) и g(n) - решения, то и a f(n) + b g(n) - тоже решение. Воспользуемся этим, чтобы подобрать решение, удовлетворяющее начальным условиям.f(n) = a * 2^n + b * 2^(-n)f(0) = a + b = 0f(1) = 2a + b/2 = 3/2a = 1, b = -1Окончательно f(n) = 2^n - 2^(-n).Осталось вычислить сумму. $\displaystyle\frac1{2-\frac12}+\frac1{2^2-\frac1{2^2}}+\frac1{2^4-\frac1{2^4}}+\frac1{2^8-\frac1{2^8}}+\cdots=\\=\frac{2}{2^2-1}+\frac{2^2}{2^4-1}+\frac{2^4}{2^8-1}+\frac{2^8}{2^{16}-1}+\cdots=\\=\frac{2+1-1}{2^2-1}+\frac{2^2+1-1}{2^4-1}+\frac{2^4+1-1}{2^8-1}+\frac{2^8+1-1}{2^{16}-1}+\cdots=\\=\frac1{2-1}-\frac1{2^2-1}+\frac1{2^2-1}-\frac1{2^4-1}+\frac1{2^4-1}-\cdots=\frac1{2-1}=1$ Ответ. 1
- Автор:
  mckenziegwom
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ