число натуральных делителей числа 8^n+2 x 12^n-3 равно 42. Найдите натуральное число n (с решением пожалуйста)

Сначала определим, как выглядят все делители заданного числа. Для этого стоит разложить его на простые множители:Из этого разложения заключаем, что все делители имеют вид: , где , По условию это число имеет 42 натуральных делителя.1)Пусть сначала , то есть, каждый из 42 делителей есть степень двойки. Очевидно, что эти делители располагаются лишь в порядке возрастания степеней двойки "без пропусков"(иначе получится число, имеющее более 42 делителей), поэтому (между 0 и 41 располагается ровно 42 натуральных числа). А чтобы всех таких делителей вида  было ровно столько, необходимо, чтобы Если ,то таких делителей меньше 42, если , то больше.Итак, , откуда  - не натуральное число. Поэтому делаем вывод: среди делителей данного числа не могут содержаться только лишь степени двойки.2)Повторим рассуждения для степеней тройки. Пусть  для всех делителей. Тогда они имеют вид В силу рассуждений предыдущего пункта,, откуда - натуральное число. Этот случай вполне нас может устраивать, но здесь обязательна проверка - подстановка n в запись числа и прикидка количества делителей. Подставляя, имеем число:Но мы видим, что число имеет 220 делителей, только лишь являющихся степенями двойки, не говоря про остальные делители(то есть, их не 42 явно). Поэтому  условию задачи не удовлетворяет.3)Пусть теперь имеем среди делителей и делители "смешанной" породы. Как найти нам теперь n?Пусть у нас есть какое-либо число вида . Какова структура делителей данного числа? Их три вида:а)Вида . Очевидно, что , а потому всего их ;б)Вида . Ясно, что , а всего их n-3+1 = n-2 Плюс ко всему замечаем, что два раза получается в делителе 1. Так что один лишний делитель я выбрасываю.О чём это всё говорит? О том, что "чистых" делителей в точности (убираем 1 отсюда)в)Смешанные делители вида . Сколько их? Здесь уже практически чистая комбинаторика. Подсчитываем общее допустимое число делителей.        На каждую из  степеней числа 2(всего их , но 0 не включается, а потому только 5n) можно поставить одну из  степеней числа 3(всего их , но 0 не включаем, а потому n-3). Соответственно, получаем  их комбинаций. Всего делителей 42, так что - не натуральное и даже не целое число.   Таким образом,    . Произведём проверку:                            - действительно, число имеет 42 натуральных делителя(40 - отличных от 1 и самого числа, и 2 особых делителя - само число и 1).