В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1,у которого AB=6,BC=6, CC1=4,найдите тангенс угла между плоскостями ACD1 и A1B1C1

Начертим диагонали основания. Точка О - пересечение АС и ВD.

Построим треугольник ACD1, проведя отрезки AD1 и CD1. Указанный треугольник равнобедренный - AD1 = CD1 как диагонали равных прямоугольников. Проведем высоту D1O. Данный перпендикуляр попадет именно в точку О, так как проекция его на плоскость АВС - отрезок OD- также перпендикулярен АС по свойству диагоналей квадрата (ABCD- квадрат по условию).

Итак, угол DOD1 - угол между плоскостями AD1C и АВС, но так как плоскость АВС являчется параллельным переносом плоскости А1В1С1, указанный угол и есть - искомый.

Рассмотрим пр.тр-ик DOD1:

В нем катет DD1 = 4( по условию), теперь найдем другой катет - OD:

Из пр. равнобедр. тр-ка AOD: AD^2 = AO^2 + OD^2 = 2OD^2, или

OD^2 = (AD^2)/2 = 36/2 = 18,  OD = кор18 = 3кор2.

Теперь находим тангенс угла DOD1:

tg DOD1 = DD1/DO = 4/(3кор2) = (2кор2)/3

Ответ: (2кор2)/3