доказать что:сумма любого положительного числа и обратного ему числа не меньше 2

Берем положительное число х и обратное ему 1/х.

х + 1/х = (х²+1)/х

Наименьшее положительное число равно 1. Подставим:

(1+1)/1=2

Все остальное будет больше 2. 

      1            x² - 2 * x +1        (x - 1)²

x + --- - 2 = ----------------- =  -----------

      x                    x                     x

При  x > 0  и числитель, и знаменатель неотрицательны, поэтому неотрицательно и все выражение