Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • dy/dx+y/x=1/(1-x^2). Подскажите, пожалуйста, как решить?

Ответы 2

  • (y(x))/x+( dy(x))/( dx) = 1/(1-x^2): Перепишем в таком виде: ( dy(x))/( dx)+(y(x))/x = -1/(x^2-1) Положим mu(x) = e^( integral 1/x dx) = x. Умножим обе части на mu(x): x ( dy(x))/( dx)+y(x) = -x/(x^2-1) заменим 1 = ( d)/( dx)(x): x ( dy(x))/( dx)+( d)/( dx)(x) y(x) = -x/(x^2-1) Применим g ( df)/( dx)+f ( dg)/( dx) = ( d)/( dx)(f g) к левой части:( d)/( dx)(x y(x)) = -x/(x^2-1)Проинтегрируем обе части по x:  integral ( d)/( dx)(x y(x)) dx = integral -x/(x^2-1) dx Получаем: x y(x) = -1/2 log(x^2-1)+c_1, где c_1 произвольная константа.Разделим обе части на mu(x) = x: Ответ: | | y(x) = (-1/2 log(x^2-1)+c_1)/x

    • Автор:

      israel974
    • 6 лет назад
    • 0
  • \cfrac{dy}{dx}+\cfrac{y}{x}=\cfrac{1}{1-x^2}Заметим, что это Линейное Дифференциальное Уравнение первого порядка(ЛДУ1),запишем в общем виде:\cfrac{dy}{dx}+a(x)y=b(x)\\a(x)=\cfrac{1}{x}\\b(x)=\cfrac{1}{1-x^2}То есть y и y' присутствуют линейно.Решаем ЛДУ1 методом вариации произвольной постоянной:Считаем, что b(x)=0, тогда получаем:y'+a(x)y=0\\\cfrac{dy}{dx}+a(x)y=0\\\cfrac{dy}{y}=-a(x)dx\\\ln y=-\int a(x)dx+\ln c\\y=ce^{-\int a(x)dx}=ce^{-\int\frac{1}{x}dx}=ce^{\ln x}Получили решение однородного уравненияПусть c=c(x), тогда общее неоднородное решение будет равно:y=c(x)e^{-\int a(x)dx}Подставляем в исходное уравнение и решаем:y=ce^{-\int a(x)dx}=ce^{-\int\frac{1}{x}dx}=ce^{\ln x}\\y=c(x)e^{-\int a(x)dx}\\c'(x)e^{-\int a(x)dx}+c(x)e^{-\int a(x)dx}\cdot (-a(x))+a(x)c(x)e^{-\int a(x)dx}=b(x)\\c'(x)=b(x)e^{\int a(x)dx}\\c(x)=\int b(x)e^{\int a(x)dx}+C_1\\y=c(x)e^{-\int a(x)dx}=\left[\int b(x)e^{\int a(x)dx}dx+C_1ight]e^{-\int a(x)dxОсталось посчитать:y=c(x)e^{-\int a(x)dx}=\left[\int b(x)e^{\int a(x)dx}dx+C_1ight]e^{-\int a(x)dx\\y}=\\=\left[\int\cfrac{1}{1-x^2}e^{\ln x}+C_1ight]e^{\ln x}=\left[\int\cfrac{x}{1-x^2}+C_1ight]x=\\=\left[-\cfrac{1}{2}\ln (1-x^2)+C_1ight]xПолучили решение, ЛДУ1

    • Автор:

      lady
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years