найдите все простые p и натуральные n,удовлетворящие равенству р²+n²=3pn+1.П помогите пожалуйста дам 15баллов

спасибо,огромное

P(3n-p)=(n-1)(n+1)При n=1 сразу имеем p=3. Пусть n > 1. Из чисел n-1, n+1 хотя бы одно делится на p. Рассматриваем два случая.1) n-1=pk, k натуральное. Подстановка в уравнение и сокращение на p дают 3pk-p+1=k(pk+2), откуда p(k^2-3k+1)=3-2k.2) n+1=pk, и здесь будет 3pk-p-3=(pk-2)k, то есть p(k^2-3k+1)=2k-3.Легко видеть, что (k^2-3k+1)-(3-2k)=k^2-k-2=(k+1)(k-2) > 0 при k>=3. Случаи k=1, k=2 в пункте 1) разбираем отдельно, и они не подходят.Далее, (k^2-3k+1)-(2k-3)=k^2-5k+4=(k-1)(k-4) > 0 при k>=5. В пункте 2) смотрим случаи 1<=k<=4. Первый и последний дают p=1, и это не подходит. Также не подходит k=2, где p отрицательно, а при k=3 получается p=3, то есть n=8. Это ещё одно решение, а всего их у уравнения два.Здесь есть связь с числами Фибоначчи, но мы её не касались.