На доске написаны пять натуральных чисел. Оказалось, что сумма любых трёх из них делится на каждое из остальных. Обязательно ли среди этих чисел найдётся четыре равных?

Берём сначала три числа 1,2,3 - сумма любых двух делится на третье. Добавляем к ним четвёртое число, равное их сумме. 1, 2,3,6. Точно так же можно построить 5, 6, ..n чисел, что сумма любых (n-1) делится на оставшееся. Действительно, если n-1 чисел, обладающих свойством, что любая сумма без одного делится на это одно, то добавляем a_n= сумме всех a_k. Тогда сумма всех без последнего равна последнему, делится на него. Сумма всех без какого-то a_k =ak=a_1+a_2+..+a_n-a_k=a_1+a_2+..+a_(n-1)+a_1+a_2+..+a_(n-1)-ak= =2*(сумма первых (n-1) без а_k)+a_k Так как (сумма первых (n-1) без а_k) делится на a_k, a_k делится на a_k, то и cумма всех без какого-то a_k делится на a_k