Дети решали задачи. Каждую задачу решила хотя бы половина ребят. Каждый ребенок решил не более половины задач. Докажите, что детей было черное число.

Пусть у нас x ребят и n задач. Предположим, что x нечетно. Поэтому каждую задачу решило хотя бы (x+1)/2 ребенка. Найдем среднее количество решенных задач: . Заметим также, что , поскольку . То есть среднее количество решенных задач больше их половины. По условию, каждый ребенок решил не более половины задач, то есть среднее количество решенных задач не превосходит их половины. Противоречие. Значит x - четно