Два автомобиля равномерно движутся по взаимно
перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один
из них движется со скоростью 65 км/ч и находится на расстоянии 16 км от
перекрестка, второй движется со скоростью 45 км/ч и находится на
расстоянии 12 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между
автомобилями станет наименьшим? Каково будет это наименьшее
расстояние

Хаха. Вы ошиблись также, как я. Посчитайте расстояние через 15 минут после старта. Только я пока не знаю, в какой момент расстояние станет наименьшим.

Я полностью с Вами согласен в том, что наименьшим расстояние будет в точке пересечения автомобилей. А "собака" зарыта в том, что: когда первый автомобиль достигнет перекрестка или второй автомобиль?

Первым перекрестка достигнет 1 автомобиль, я это показал в своем ответе.

В начальный момент времени расстояние между машинами по теореме Пифагора

S0 = √(16^2 + 12^2) = √(256 + 144) = √400 = 20 км.

Расстояние от 1 машины до перекрестка меняется по закону:

s1 = 16 - 65*t км, где t - время в часах.

Расстояние от 2 машины до перекрестка меняется по закону:

s2 = 12 - 45*t км.

Расстояние между машинами по той же теореме Пифагора

Вычислим минимум этой функции, который будет в вершине параболы

t0 = -b/(2a) = 3160/(2*6250) = 158/625 часов = 158*60/625 = 15,168 минут.

В этот момент машины проехали

s1 = 16 - 65*t0 = (16*625 - 65*158)/625 = -270/625 = -54/125

s2 = 12 - 45*t0 = (12*625 - 45*158)/625 = 390/625 = 78/125

То, что s1 < 0 говорит о том, что 1 машина уже проехала перекресток.

Расстояние между машинами в этот момент

16÷65=16/65 ч первый а/м достигнет перекрестка.

(16/65)*45=11 1/13 км проедет второй а/м, когда первый достигнет перекрёстка.

12-11 1/3=12/13 км будет расстояние между первым а/м и вторым а/м.

Дальше смотрите рисунок к задаче, на рисунке перекрёсток. По началу я думал, что самая короткая гипотенуза между автомобилями будет тогда, когда расстояния от перекрёстка до первого и второго автомобиля будут равны. Оно бы так и было, если бы скорости у первого и второго автомобиля были бы равные.

В данном случае расстояние между автомобилями будет меняться по гипотенузе прямоугольного треугольника, когда первый автомобиль удаляется от перекрестка, а второй приближаться к перекрёстку (находясь от него на расстоянии 12/13 км.) Если записать функцию как квадрат гипотенузы, то:

f(t)=(0-65t)²+(12/13-45t)²=4225t²+(144/169)-(1080t/13)+2025t²=

=6250t²-(1080t/13)+(144/169)

Найдем наименьшее значение функции:

(1080/13)/(2*6250)=54/8125 часа после движения первого автомобиля от перекрёстка расстояние между автомобилями будет наименьшим.

16/65+54/8125=0,2528 часа=15,168 минут после начала движения, расстояние между автомобилями будет наименьшим.

(54/8125)*65=54/125 км проехал первый автомобиль от перекрёстка за 54/8125 часа.

(12/13)-(54/8125)*45=(12/13)-(486/1625)=78/125 км расстояние до перекрестка второго автомобиля, когда первый автомобиль отъехал от перекрестка на 54/125 км.

Найдём наименьшее расстояние между автомобилями по теореме Пифагора.

S=√(54/125)²+(78/125)²≈0,758946638≈0,76 км. наименьшее расстояние между автомобилями.

Ответ: через 15,168 минут после начала движения, расстояние между автомобилями будет наименьшим: ≈ 0,76 км.