Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Определить особую точку и её тип

    f(z)=(z-1)*(e^((1)/(z-1)))

Ответы 1

  • Особая точка: 1Так как при единице функция не определена (на 0 делить нельзя) Теперь определим ее тип:1) способ Рассмотрим лево- и право сторонний пределы: a) \: lim _{z - > 1 + 0 } (z - 1) {e}^{ \frac{1}{z - 1} } = lim _{z - > 1 + 0 } \frac{ {e}^{ \frac{1}{z - 1} } }{ \frac{1}{z - 1} } = \frac{e ^{ \frac{1}{ + 0} } }{ \frac{1}{ + 0} } = ( \frac{ \infty }{ \infty } )Можно воспользоваться правилом Лопиталя:lim _{z - > 1 + 0 } \frac{ - {e}^{ \frac{1}{z - 1} } \times \frac{1}{(z - 1) ^{2} } }{ - \frac{1}{(z - 1)^{2} } } = lim _{z - > 1 + 0}{e}^{ \frac{1}{z - 1} }= e ^{ \infty } = \infty b) \: lim _{z - > 1 - 0 }(z - 1) {e}^{ \frac{1}{z - 1} } = 0 \times e^{ \frac{1}{ - 0} } = 0 \times {e}^{ - \infty } = 0 \times 0 = 0Лево- и правосторонний пределы не совпадают, следовательно предела в точке z=1 - не существует, значит z=1 - существенно особая точка2 способ) Разложение в ряд Лорана:Воспользуемся готовым разложением: {e}^{x} = 1 + x + \frac{ {x}^{2} }{2} + \frac{ {x}^{3} }{6} + ...И применим к данной функции:(z - 1) {e}^{ \frac{1}{z - 1} } = (z - 1) \times (1 + \frac{1}{z - 1} + \frac{({ \frac{1}{z - 1})} ^{2} }{2} + \frac{(\frac{1}{z - 1}) ^{3} }{6} + ...) = \\ \\ = (z - 1)(1 + \frac{1}{z - 1} + \frac{1}{2(z - 1 {)}^{2} } + \frac{1}{6(z - 1) ^{3}} + ... ) = \\ \\ =( z - 1) + 1 + \frac{1}{2(z - 1)} + \frac{1}{6(z - 1) ^{2} } + ...главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности точки z=1 содержит бесконечно много отличных от нуля членов, следовательно данная точка является существенно особой. ОТВЕТ: z=1 - существенно особая точка

    • Автор:

      mcneil
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years