Найти экстремум функции z = f(x,y) при условии φ(x, y) = 0.

z = f(x, y): z = 4x – 3y
φ(x, y) = 0: x^2+y^2=1

Составляем функцию Лагранжа:

F(x;y;λ)=f(x;y)+λφ(x;y)

Исследуем эту вспомогательную функцию на обычный экстремум.

F(x;y;λ)=4x-3y+λ(x^2+y^2-1)

Находим частные производные и приравниваем их к нулю.

(cм. необходимые условия в приложении)

{4+2λx=0

{-3+2λу=0

{x^2+y^2-1=0

Решаем полученную систему уравнений и находим стационарную точку.

x=-2/λ

y=3/(2λ)

(-2/λ)²+(3/(2λ))²=1⇒λ₁=-2,5 или λ₂=2,5 ⇒ x₁ = 0,8 или x₂ = - 0,8;

y₁ = - 0,6 или y₂= 0,6

Проверяем достаточные условия:

Находим вторые частные производные:

F ` (xx)=2λ; F ` (yy)=2λ; F ` (xy)=F ` (yx)=0

d²F=2λ(dx)²+2*0*dxdy+2λ(dy)^2

При λ=-2,5

d²F < 0⇒ (x₁;y₁) - точка максимума

При λ=2,5

d²F > 0 ⇒ (x₂;y₂) - точка минимума

z(0,8; - 0,6) = 4*0,8-3*(-0,6) = 3,2+1,8= 5 - условный максимум

z(-0,8;0,6) = 4*(-0,8)-3*0,6 = -3,2-1,8 = - 5 - условный минимум