При каких значениях a неравенство x2−5x+a>0 справедливо при всех x?

18_03_09_Задание № 5:

При каких значениях a неравенство x^2−5x+a>0 справедливо при всех x?

РЕШЕНИЕ: Так как у=x^2−5x+a парабола ветвями вверх, то если она же не будет иметь общих точек с осью х, то условие будет выполнено

x^2−5x+a=0

D=(-5)^2-4*1*a=25-4a<0

4a>25

a>6.25

ОТВЕТ: a>6.25

y=x²-5x+a - это уравнение параболы

Поскольку коэффициент перед квадратным членом положителен, то ветви параболы направлены вверх.

Чтобы при любом значении x значение функции было положительным, парабола должна быть выше оси x.

Допоним выражение до полного квадрата

x²-5x+a=x²-5x+6,25-6,25+a=

=(x-2,5)²+(a-6,25)

x-2,5 означает, что парабола y=x² сдвинута вправо на 2,5

Чтобы парабола была выше оси x

a-6,25>0 или a>6,25