Составить уравнение биссектрисы острого угла между двумя прямыми х + у + 1 = 0 и х-7у-3 = 0

Используем уравнение биссектрисы угла.

х + у + 1               х - 7у - 3

-------------      =     ----------------

√(1² + 1²)               √(1² +(-7)²)

х + у + 1                    х - 7у - 3

-------------      =    +- ----------------

  √(2)                         √(50)       .

Левую дробь (числитель и знаменатель) умножим на 5.

Тогда знаменатели будут равны и приравняем числители при знаке "+".

5х + 5у + 5 = х - 7у - 3,

4х + 12у + 8 = 0, сократим на 4:

х + 3у + 2 = 0            это общее уравнение биссектрисы острого угла.

у = (-1/3)х - (2/3)        это оно же в виде с угловым коэффициентом.

Можно проверить, что это острый угол по косинусу между направляющими векторами.

Получим их из общего уравнения прямых х + у + 1 = 0 и х - 7у - 3 = 0.

а = (1; -1), |a| = √2

b = (7; 1). |b| = √50 .

cos β = (1*7 + (-1)*1)/(√2*√50) = 6/10 = 3/5. Он положителен, значит угол острый (для тупого угла косинус отрицателен).