в школьной олимпиаде по математике принимали участие 9 учащихся 6 класса. За каждую задачу, которая решена, ученик получал 2 балла, а за каждую нерешенной задачу списывали 1 балл. Всего было 10 задач. Доказать, что среди участников олимпиды найдется хотя бы два ученика, которые набрали одинаковое число баллов. (Считать, что ученик, набравший более штрафных баллов, чем зачетных, получает 0 баллов.)

Пусть x задач решено. Тогда количество баллов будет 2x - (10 - x) = 3x - 10. 3x - 10 > 0 при x ≥ 4. Рассмотрим два случая. Если есть ученики, решившие одинаковое количество задач, то этот случай нам уже подходит. Рассмотрим другой случай, когда абсолютно все ученики решили разное число задач. 7 учеников набрали сколько-то баллов, если решили не меньше четырёх задач. Тогда оставшиеся 2 набрали по нулям, что тоже нам подходит. Следовательно, в любом случае имеются ученики, набравшие одинаковое число баллов.