точки А(-1,-5,2) B(-6,1,-1)C (3,6,-3) и Д ( -10,6,,7) верщина тетрайдера .найти 1) длину ребра Ас 2) площад грани АСД 3) обьем тетрэдера 4) высоту тетрайдера ДЕ

Даны вершины тетраэдра А(-1; -5; 2), B(-6; 1; -1, )C (3; 6; -3) и Д (-10; 6; 7).

1) Длина ребра АС = √((3-(-1))² + (6-(-5))² + (-3-2)²) =

                                = √(16 + 121 + 25) = √162 ≈ 12,727922.

2) Площадь грани АСД равна половине модуля векторного произведения (АС х АД).

Вектор АС = (4; 11; -5), вектор АД = (-9; 11; 5).

Решение:  S = (1/2) |a × b|

Найдем векторное произведение векторов:  c = a × b

a × b =  

i j k

ax ay az

bx by bz

 =  

i j k

4 11 -5

-9 11 5

 = i (11·5 - (-5)·11) - j (4·5 - (-5)·(-9)) + k (4·11 - 11·(-9)) =  

 = i (55 + 55) - j (20 - 45) + k (44 + 99) = {110; 25; 143}.

Найдем модуль вектора:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √(110² + 25² + 143²) = √(12100 + 625 + 20449) = √33174 = 3√3686.

Найдем площадь треугольника:

S =  (1/2)*3√3686  =  3√3686/ 2  ≈ 91.068655 кв.ед.

3) Объем тетраэдра равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.

Вектор АВ = (-5; 6; -3).

(АВ х АС) =  

i j k

-5 6 -3

4 11 -5

 = i (6·(-5) - (-3)·11) - j ((-5)·(-5) - (-3)·4) + k ((-5)·11 - 6·4) =  

 = i (-30 + 33) - j (25 + 12) + k (-55 - 24) = {3; -37; -79}.

Объем пирамиды    

         x y z  

AB*AC 3 -37 -79  

   AD -9 11 5  

Произведение равно (-27; -407; -395) =  -829.

V = (1/6)*829 = 138,1667 куб.ед.  

4) Высота тетраэдра ДЕ равна H=3V/Sосн.

Sосн = (1/2)*|ABxAC) = (1/2)*√(3² + (-37)² + (-79)²) =

         = √(9 + 1369 + 6241) = √7619  ≈ 43,643442.

Н = 3*(829/6)/(√7619/2) = 829/√7619 ≈ 9,497418.