исследовать функцию и построить график f x 2x^3/3+x+2/3

Дано: y = 2/3*x³ + x + 2/3.

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) = R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая

2. Пересечение с осью OХ.  

x1 ≈ -0.5535 - нуль функции.

3. Интервалы знакопостоянства.

Y<0 - X∈(-∞;-0.55],  Y>0 - X∈[-0.55;+∞)

4. Пересечение с осью OY. Y(0) = 2/3 =  0,(6)

5. Исследование на чётность.  

Важно: у четных -только чётные степени, у нечётных - только нечётные.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

6. Первая производная.    Y'(x) =  2*x² +1 = 0 ,    х² = - 0,5.

Корней нет.

7. Локальные экстремумы - нет.

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает во всем интервале определения.

9. Вторая производная - Y"(x) = 4* x  = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆=0

10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=0]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=0; +∞).

11. График в приложении.