Помогите решить y=x^5+3x^4+1,2 по схеме

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность.
3. Найти точки максимума и минимума, промежутки возрастания и убывания функции.
4. Найти точки перегиба и промежутки выпуклости вверх и вниз функции.
5. Найти дополнительные точки.
6. Построить график функции, выбрав удобный масштаб.

y=3x^3-6x^2+1

y'=9x^2-12x

y''=18x-12

x=12/18=2/3 y=3*8/27-6*4/9+1=8/9-24/9+9/9=-7/9

(2/3;-7/9) точка перегиба

(-оо; 2/3) вып. вверх, (2/3;+оо) вып. вниз

Для нахождения интервалов монотонности (т.е. возрастания и убывания) и точек экстремума нам нужна первая производная, а для интервалов выпуклости и вогнутости и координат точек перегиба - вторая производная.

Приравниваем первую производную к нулю, решаем получившееся уравнение и тем самым находим абсциссы критических точек:

Чертим числовую ось, отмечаем на ней точки 2 и 4 и исследуем поведение производной на получившихся интервалах:

подставляем в нее значение х меньше 2 (например, 0):

Получили отрицательное значение производной на участке левее 2 (ставим там минус).

Дальше подставляем в производную х между 2 и 4 (например, 3):

Полученное значение больше нуля. Ставим над координатной прямой на участке между 2 и 4 плюс.

Проверяем участок правее 4. Подставляем в уравнение производной число больше 4 (например, 10):

Получено отрицательное значение производной. Правее 4 ставим минус.

Получается, что анализируемая функция убывает на участке (-∞; 2) - ставим стрелочку вниз; возрастает на участке (2; 4) - ставим стрелочку вверх; убывает на участке (4; +∞) - ставим снова стрелочку вниз.

Итак, точка 2 - это минимум функции, а точка 4 - ее максимум.

Можем вычислить значение функции в этих точках (точках экстремума):

Теперь начинаем аналогичную работу со второй производной: приравниваем ее к нулю, решаем уравнение, полученные значения отмечаем на новой координатной прямой - это предполагаемые точки перегиба. Если в этих точках знак второй производной меняется (с плюса на минус или наоборот - с минуса на плюс), то это действительно точки перегиба. Если вторая пр-я на участке отрицательна, то график функции на этом участке выпуклый, если положительна - то вогнутый.

Начнем:

Подставим в формулу второй производной сначала число, меньшее 3, потом - большее. Пусть это будут числа 0 и 5:

Т.е.  точка 3 действительно оказалась точкой перегиба: левее нее график функции вогнутый, правее - выпуклый. Значение функции в этой точке равно

Всё. Конец.