Исследуйте функцию( найти наибольшее и наименьшее значение заданной функции на отрезке [-1;5], найдите точки экстремумов функции, укажите промежутки возрастания и убывания функции)
y=x^3-9x^2+24x-1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Дана функция y=x^3-9x^2+24x-1.

Производная равна: y' = 3x² - 18x + 24 = 3(x² - 6х + 8).

Приравняем её нулю: 3(x² - 6х + 8) = 0 (множитель в скобках).

x² - 6х + 8= 0.  Д = 36 - 32 = 4.  х1,2 = (6+-2)/2 = 4; 2.

У функции 2 критических точки:  х1 = 2, х2 = 4.

Находим знаки производной на полученных промежутках.

x = 1 2 3 4 5

y' = 9 0 -3 0 9 .

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

Минимум функции в точке х = 2,  у = 19.

Максимум в точке х = 4,  у = 15.

Возрастает на промежутках (-∞; 2) и (4; +∞).

Убывает на промежутке (2; 4).

На заданном промежутке [-1; 5] минимум будет в точке х = -1, у = -35. а максимум в точке х = 2, y = 19.

В точке х = 5 значение у = 19. Так что имеем 2 максимума на заданном промежутке.