y=5x-x^2 Решить полное исследование функции

у=5х-х^2

0=5х-х^2

5х-х^2=0

х×(5-х)=0

х=0

х=5

х1=0

х2=5

ДАНО: Y(x) = -x² + 5*x.

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. Пересечение с осью OХ.  

y = -x*(x-5) = 0

Нули функции:  х1 = 0 и х2 = 5.

6. Интервалы знакопостоянства.

Положительна: (между нулями):  Х∈[0;5].

Отрицательна: (вне нулей):  Х∈(-∞;0]∪[5;+∞)

7. Пересечение с осью OY. Y(0) = 0.    

8. Исследование на чётность.  

В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

9. Первая производная.    Y'(x) = -2*x + 5 = 0

x = 2.5 - точка экстремума.

10. Локальные экстремумы.  

y(2.5) = 6.25 - максимум.

11. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает: X∈(-∞;2.5]. Убывает: X∈[2.5;+∞).

12. Вторая производная - Y"(x) = -2  - корней нет.

13. Точек перегиба - нет.

Выпуклая во всей области определения.

14. Область значений.

E(y) y∈(-∞;6.25]

15. График в приложении.