Знайдіть проміжки зростання,спадання та точки екстремуму та екстремуми функції g(t)=2x3+3x2-36x

Для нахождения промежутков роста, падения и точек экстремума функции g(t) = 2t^3 + 3t^2 - 36t, необходимо вычислить производную функции и найти ее корни.

1. Найдем производную функции g'(t):

g'(t) = 6t^2 + 6t - 36.

2. Решим уравнение g'(t) = 0, чтобы найти точки экстремума:

6t^2 + 6t - 36 = 0.

Разделим это уравнение на 6:

t^2 + t - 6 = 0.

Факторизуем его:

(t + 3)(t - 2) = 0.

Таким образом, получаем две точки экстремума: t = -3 и t = 2.

3. Теперь построим таблицу знаков производной g'(t) на интервалах (-∞, -3), (-3, 2), и (2, +∞), чтобы найти промежутки роста и падения функции:

  | -∞ | -3 | 2 | +∞

----------------------------

g' | + | 0 | + | +

Знак "+" означает положительную производную, а знак "0" означает точку экстремума.

Таким образом, на интервале (-∞, -3) и на интервале (2, +∞) функция g(t) возрастает, а на интервале (-3, 2) функция g(t) убывает.

4. Также, чтобы найти точки перегиба функции, можно проанализировать вторую производную g''(t):

g''(t) = 12t + 6.

Однако, данная функция не имеет нулей, следовательно, нет точек перегиба в данной функции.

Итак, промежутки роста, падения и точки экстремума функции g(t) = 2t^3 + 3t^2 - 36t:

- Функция возрастает на интервалах (-∞, -3) и (2, +∞).

- Функция убывает на интервале (-3, 2).

- Точки экстремума: t = -3, t = 2.