Провести полное исследование функции:

y= (x^2 -3)/(x-2)

Для проведения полного исследования функции y = (x^2 - 3)/(x - 2), нам нужно рассмотреть следующие аспекты:

1. Определение области определения функции:

Функция определена для всех значений x, кроме x = 2, так как знаменатель не может быть равен нулю.

2. Расчет точек пересечения с осями координат:

- При x = 0, y = (-3)/(-2) = 3/2. Таким образом, функция пересекает ось y в точке (0, 3/2).

- При y = 0, x^2 - 3 = 0. Решая это уравнение, получим x = ±√3. Таким образом, функция пересекает ось x в точках (√3, 0) и (-√3, 0).

3. Анализ поведения функции вблизи точки разрыва:

Поскольку функция имеет разрыв в x = 2, мы рассмотрим поведение функции на интервалах (−∞, 2) и (2, +∞). На интервале (−∞, 2) функция убывает, а на интервале (2, +∞) функция возрастает.

4. Анализ поведения функции при x → ±∞:

При x → ±∞, функция стремится к горизонтальной асимптоте y = x.

5. Выявление экстремумов функции:

Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

y' = (2x(x - 2) - (x^2 - 3))/ (x - 2)^2 = (2x^2 - 4x - x^2 + 3)/ (x - 2)^2 = (x^2 - 4x + 3)/ (x - 2)^2

Найдем значения x, при которых y' = 0:

(x^2 - 4x + 3) = 0

(x - 3)(x - 1) = 0

x = 3 или x = 1

Получаем две точки экстремума: (1, -2) и (3, 6).

6. Нахождение точек перегиба:

Для этого найдем вторую производную функции:

y'' = (2(x - 2)^2 - (x^2 - 4x + 3)(2(x - 2))) / (x - 2)^4 = (2(x - 2)^2 - 2(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)) / (x - 2)^4 = (2(x - 2)^2 - 2x^3 + 12x^2 - 22x + 12) / (x - 2)^4

Построим таблицу знаков для y' и y'' и анализируем изменение выпуклости функции в разных интервалах.

7. Наконец, построим график функции, используя все полученные данные.

Таким образом, полное исследование функции y = (x^2 - 3)/(x - 2) включает определение области определения, точек пересечения с осями координат, анализ поведения функции вблизи точки разрыва, экстремумов и точек перегиба, а также построение графика функции.