Решите уравнение
[tex] \frac{ |ctg \: xy| }{ {cos}^{2} \: xy } = \: log_{ \frac{1}{3} }(9 {y}^{2} - 18y + 10) + 2[/tex]
​

Ответ: x=pi/4+pi*n/2 n-целое число;

y=1.

Пошаговое объяснение:

Найдем область значений правой части уравнения:

Преобразуем показатель логарифма:

9y^2-18y+10=9*(y-1)^2+1>=1

тк 1/3<1

log(1/3)(9y^2-18y+10)<=log(1/3)(1)=0

log(1/3)(9y^2-18y+10)+2<=2

Найдем область значений левой части уравнения:

|ctg(xy)|/cos^2(xy)=1/|cos(xy)*sin(xy)|=

=2/|sin(2xy)|

0<=|sin(2xy)|<=1

1/|sin(2xy)|>=1

2/|sin(2xy)|>=2

Из областей значений левой и правой части следует ,что если решение существует, то левая и правая часть должны быть равны 2.

log(1/3)(9y^2-18y+10)+2=2

log(1/3)(9y^2-18y+10)=0

9y^2-18y+10=1

9*(y-1)^2=0

y=1

2/|sin(2xy)|=2

|sin(2xy)|=1

sin(2xy)=+-1

Это можно интерпретировать как:

cos(2xy)=0 (согласно ОТД)

2xy=pi/2 +pi*n n-целое число

Поскольку y=1

x=pi/4 +pi*n/2 n-целое число