y=1/4x^4-1/3x^3-x^2 исследовать функцию

Найдем производные функции y:

y' = x^3 - x^2 - 2x

y'' = 3x^2 - 2x - 2

y''' = 6x - 2

1. Точки экстремума функции:

y' = 0

x^3 - x^2 - 2x = 0

x(x^2 - x - 2) = 0

x1 = 0, x2 = 2, x3 = -1

y''(0) = -2 < 0, y''(2) = 8 > 0, y''(-1) = 1 > 0

Точка x = 0 является максимумом, x = 2 - минимумом, x = -1 - максимумом.

2. Точки перегиба функции:

y'' = 0

3x^2 - 2x - 2 = 0

x1 = -1/3, x2 = 1

y'''(-1/3) = -4 < 0, y'''(1) = 4 > 0

Точка x = -1/3 является точкой перегиба вниз, а x = 1 - точкой перегиба вверх.

3. Отрезки монотонности функции:

На отрезке (-∞, -1) функция возрастает, на (-1, -1/3) убывает, на (-1/3, 1) возрастает, на (1, 2) убывает, на (2, +∞) возрастает.

4. Знаки производных функции и поведение графика:

При x < -1 функция y монотонно возрастает, имеет локальный максимум в точке x = -1, затем монотонно убывает до точки перегиба вниз в x = -1/3, где меняет направление роста на убывание. В окрестности точки перегиба функция изменяет свой наклон, а в самой точке перегиба имеет горизонтальную касательную. После точки перегиба функция монотонно убывает до точки минимума в x = 2, затем монотонно возрастает.

График функции представляет собой параболу, перевернутую вверх, с локальными максимумами в точках x = -1 и x = 0, точкой перегиба вниз в x = -1/3 и минимумом в точке x = 2.

Ответ: функция y = 1/4x^4-1/3x^3-x^2 имеет локальный максимум в точке x = -1, минимум в точке x = 2, точку перегиба вниз в x = -1/3. График функции представляет параболу, перевернутую вверх.