В ряд выложены 5 тыкв. Вес первой тыквы 8 кг, а пятой - 16 кг. Вес каждой тыквы, кроме первой и последней, на 1 кг меньше полусуммы весов её соседей. Сколько весит каждая их тыкв? ОТВЕТ: 8; 7; 8; 11; 16. ВОПРОС: Как доказать, что других ответов быть не может (один из вариантов - составить и решить уравнение)? Или показать еще варианты, но потом все равно доказать, что других быть не может? (полное решение)​

Для решения этой задачи можно воспользоваться методом математической индукции. Предположим, что первая и последняя тыквы имеют заданные в условии веса, а вес каждой из оставшихся тыкв равен х. Тогда по условию задачи:

вес второй тыквы: (8 + х + 16) / 2 - 1 = 7 + х / 2

вес третьей тыквы: (8 + 7 + х / 2) / 2 - 1 = 7 + х / 4

вес четвертой тыквы: (7 + х / 4 + 11) / 2 - 1 = 8 + х / 8

Таким образом, вес каждой из тыкв, кроме первой и последней, зависит только от веса предыдущей тыквы. Поэтому можно предположить, что вес каждой из тыкв можно выразить через вес предыдущей тыквы, начиная с веса второй тыквы.

Таким образом, получаем следующую последовательность весов тыкв:

8, 7, 8, 11, 16

Докажем, что других ответов быть не может. Для этого заметим, что в силу того, что вес каждой тыквы, кроме первой и последней, на 1 кг меньше полусуммы весов её соседей, вес каждой тыквы должен быть больше веса соседей, то есть:

8 > 7

7 < 8 и 7 < 8 + 16 / 2 - 1 = 10

8 > 7 + 8 / 2 - 1 = 6

8 < 7 + 8 / 2 - 1 + 11 / 2 - 1 = 13

11 < 8 + 16 / 2 - 1 = 15

Таким образом, полученная последовательность весов тыкв удовлетворяет всем условиям задачи, и других ответов быть не может.