Стороны основания правильной усеченной треугольной пирамиды равны 4 дм и 20 см апофема равна 14 см Найти площадь основания пирамиды.

Переведем все единицы измерения в сантиметры: 4 дм = 40 см, 20 см = 200 мм.

Рассмотрим один из равносторонних треугольников, образующих основание усеченной пирамиды. Обозначим его сторону через a. Тогда, по теореме Пифагора, высота этого треугольника равна h = √(a^2 - (a/2)^2) = √(3/4 a^2) = (a/2) √3.

Апофема равна отрезку, соединяющему центры верхнего и нижнего оснований пирамиды. Обозначим этот отрезок через r. Тогда r = h + (b-a)/2, где b - сторона большего основания, равная 20 см + 4 дм = 240 см.

Подставим значения h и r в формулу для площади основания S = (a+b)/2 r:

S = [(a + 240 см)/2] h + (b-a)/2

S = (a + 240 см)/2 [(a/2) √3 + (16 дм)/2]

S = (a + 240 см)/2 [(a/2) √3 + 80 см]

Так как пирамида правильная, то a является стороной правильного треугольника, а значит a = b/√3. Подставим это выражение для a в формулу для S:

S = (b/√3 + 240 см)/2 [(b/2√3) √3 + 80 см]

S = (b/√3 + 240 см)/2 [b/(2√3) + 80 см]

Заменим b = 20 см + 4 дм = 240 см:

S = [(240 см/√3 + 240 см)/2] 240 см/(2√3) + 80 см

S = (240/√3 + 240)/2 (240/(2√3) + 80)

S = (120√3 + 240) (120/√3 + 80)

S = 120^2 + 3200√3 ≈ 6252,54 см^2

Ответ: площадь основания пирамиды примерно равна 6252,54 см^2.