Исследовать функцию на монотонность и экстремумы y=x^3-3x^2+1

Для исследования функции y = x^3 - 3x^2 + 1 на монотонность и экстремумы нужно найти ее первую и вторую производные:

y' = 3x^2 - 6x

y'' = 6x - 6

1. Найдем точки, в которых y' = 0, чтобы определить наличие экстремумов функции:

3x^2 - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Точки, в которых y' = 0: x1 = 0, x2 = 2.

2. Найдем знаки y' на интервалах между найденными точками, чтобы определить монотонность функции:

x < 0 | 0 < x < 2 | x > 2

y' | - 0 + | + 0 - | - 0 +

Таким образом, функция y = x^3 - 3x^2 + 1 монотонно возрастает на интервале (-∞;0] и на интервале 2;+∞), и монотонно убывает на интервале [0;2.

3. Найдем знаки y'' в точках x1 и x2, чтобы определить тип экстремума в каждой из них:

y''(0) = -6 < 0, значит, в точке x1 = 0 функция имеет локальный максимум.

y''(2) = 6 > 0, значит, в точке x2 = 2 функция имеет локальный минимум.

Таким образом, функция y = x^3 - 3x^2 + 1 имеет локальный максимум в точке (0,1) и локальный минимум в точке (2,-3).

Ответ:

Функция y = x^3 - 3x^2 + 1 монотонно возрастает на интервале (-∞;0] и на интервале 2;+∞), и монотонно убывает на интервале [0;2. Функция имеет локальный максимум в точке (0,1) и локальный минимум в точке (2,-3).