Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной пирамиды равна 10дм,а боковое ребро 13 дм.Найдите объем пирамиды.

Пусть сторона основания квадрата равна a. Тогда диагональ квадрата равна √2a, по условию она равна 10 дм, откуда получаем a = 10 / √2 = 5√2 дм.

Рассмотрим треугольник, образованный боковым ребром пирамиды, диагональю основания квадрата и высотой пирамиды из вершины на эту диагональ. Этот треугольник равнобедренный, так как углы между высотой и боковым ребром, высотой и диагональю основания равны, и его боковые стороны равны 13 дм и a = 5√2 дм. По теореме Пифагора находим длину основания этого равнобедренного треугольника:

b = √(a^2 - (13/2)^2) = √(50 - 169/4) = √(631/4) = (1/2)√2524 дм.

Объем пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Площадь основания мы знаем, это квадрат со стороной a:

S = a^2 = (5√2)^2 = 50 дм^2.

Высоту пирамиды можно найти, разделив треугольник, образованный боковым ребром пирамиды, диагональю основания квадрата и высотой пирамиды на два прямоугольных треугольника. В одном из них катеты равны половине диагонали основания квадрата и высоте пирамиды, а в другом - катеты равны половине стороны основания квадрата и высоте пирамиды. Из первого треугольника получаем:

h^2 + (b/2)^2 = 13^2/4,

из второго:

h^2 + (a/2)^2 = 13^2/4.

Вычитая из первого уравнения второе, получаем:

(b/2)^2 - (a/2)^2 = 0,

откуда b = a.

Таким образом, мы получаем:

h^2 + (b/2)^2 = 13^2/4,

или

h^2 + (a/2)^2 = 13^2/4.

Подставляя значения a и b, получаем:

h^2 + 50/4 = 169/4,

откуда h = √119 дм.

Теперь можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) S h = (1/3) 50 √119 = (50/3) √119 дм^3.

Итак, объем пирамиды равен (50/3) √119 дм^3.