По теме:
Площади поверхностей и обьёмы многогранников. ​

задача 1

Рассмотрим треугольник B1CD. Так как угол между диагональю B1D и плоскостью основания равен 30°, то угол между B1C и CD также равен 30°. Значит, треугольник B1CD является равнобедренным. Из этого следует, что BD = B1D = 6 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABB1. Из условия известно, что один из углов этого треугольника равен 60°, а гипотенуза равна 12 см. Значит, стороны этого треугольника равны AB = 6 см и BB1 = 6√3 см.

Таким образом, все ребра призмы известны. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых поверхностей четырех трапеций. Площадь каждой трапеции можно найти по формуле:

Sтр = (a + b) h / 2,

где a и b - длины оснований трапеции, h - ее высота.

Площадь боковой поверхности призмы будет равна:

Sбок = 2 SтрAB1C1 + 2 SтрB1DCA.

Подставляя известные значения, получим:

Sбок = 2 ((6 см + 12 см) 6√3 см / 2) + 2 ((6 см + 6 см) 12 см / 2) ≈ 288 см^2.

Площадь основания призмы равна площади параллелограмма ABCD:

Sосн = AB AD = 6 см 12 см = 72 см^2.

Таким образом, полная площадь поверхности призмы будет равна:

S = Sбок + 2 Sосн = 288 см^2 + 2 72 см^2 = 432 см^2.

Объем призмы можно найти по формуле:

V = Sосн h,

где h - высота призмы.

Высота призмы равна высоте параллелограмма ABCD, которая равна стороне AB sin(60°) = 6 см √3 / 2 = 3√3 см. Подставляя известные значения, получим:

V = Sосн h = 72 см^2 3√3 см ≈ 124.7 см^3.

Ответ: площадь полной поверхности призмы равна 432 см^2, объем призмы составляет примерно 124.7 см^3.

задача 2

Рассмотрим боковую грань пирамиды. Так как угол между боковой гранью и основанием равен 45°, то этот угол же является углом между боковым ребром и основанием. Обозначим боковое ребро через a.

Так как основание пирамиды является правильным треугольником, то высота на его сторону является медианой и равна половине стороны, то есть h = √3/2 3 см = 1.5√3 см.

Высота боковой грани равна h1 = h sin(45°) = (1.5√3 см) / √2 = 1.5 см.

Теперь можем найти боковое ребро a:

a = h1 / sin(45°) = (1.5 см) / √2 = 1.06 см.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна площади четырех равнобедренных треугольников со стороной a и боковым ребром h1:

Sбок = 4 (a h1 / 2) = 4 (1.06 см 1.5 см / 2) ≈ 3.18 см^2.

Площадь основания пирамиды равна площади правильного треугольника со стороной 3 см:

Sосн = √3/4 a^2 = √3/4 (3 см)^2 ≈ 3.9 см^2.

Таким образом, полная площадь поверхности пирамиды будет равна:

S = Sбок + Sосн = 3.18 см^2 + 3.9 см^2 ≈ 7.08 см^2.

Объем пирамиды можно найти по формуле:

V = Sосн h / 3 = (3.9 см^2 1.5√3 см) / 3 ≈ 2.13 см^3.

Ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна примерно 7.08 см^2, объем пирамиды составляет около 2.13 см^3.

задача 3

Рассмотрим боковую грань пирамиды. Так как боковая грань наклонена к плоскости основания под углом а, то высота этой грани равна h1 = а sin(a).

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна h = а √3 / 2.

Таким образом, боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник со стороной а и высотой h1.

Заметим, что основание этого треугольника не параллельно основанию пирамиды. Рассмотрим высоту этого треугольника, опущенную на боковое ребро. Она равна h2 = а cos(a).

Тогда длина бокового ребра равна l = √(h1^2 + h2^2) = √(а^2 sin^2(a) + а^2 cos^2(a)) = а √(sin^2(a) + cos^2(a)) = а.

Таким образом, боковые ребра пирамиды равны стороне основания, то есть пирамида является правильной.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна площади трех равнобедренных треугольников со стороной а и высотой h1:

Sбок = 3 (а h1 / 2) = 3 (а а sin(a) / 2).

Площадь основания пирамиды равна площади правильного треугольника со стороной а:

Sосн = √3/4 а^2.

Таким образом, полная площадь поверхности пирамиды будет равна:

S = Sбок + Sосн = 3 (а а sin(a) / 2) + √3/4 а^2 = а^2 (3/2 sin(a) + √3/4).

Ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна а^2 (3/2 sin(a) + √3/4).