Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: y=12x^2-6x+4

Найдём производную функции y=12x^2-6x+4:

y' = 24x - 6

Выясним знак производной на всей числовой прямой, решив неравенство y' > 0:

24x - 6 > 0

24x > 6

x > 1/4

Таким образом, производная положительна на интервале (1/4, +∞), что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Решим неравенство y' < 0:

24x - 6 < 0

24x < 6

x < 1/4

Производная отрицательна на интервале (-∞, 1/4), что означает, что функция убывает на этом интервале.

Таким образом, функция возрастает на интервале (1/4, +∞) и убывает на интервале (-∞, 1/4).

Найдём точки перегиба, приравняв к нулю вторую производную функции:

y'' = 24

Мы видим, что вторая производная положительна на всей числовой прямой, что означает, что функция выпукла вверх на всей числовой прямой и не имеет точек перегиба.

Найдём экстремумы функции, приравняв к нулю первую производную:

24x - 6 = 0

x = 1/4

Подставляя x = 1/4 в исходную функцию, получим значение y:

y = 12(1/4)^2 - 6(1/4) + 4 = 3/8

Таким образом, функция имеет локальный минимум в точке (1/4, 3/8).

Ответ: функция y=12x^2-6x+4 возрастает на интервале (1/4, +∞), убывает на интервале (-∞, 1/4), имеет локальный минимум в точке (1/4, 3/8) и выпукла вверх на всей числовой прямой.