Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной полуэллипсом y=3 sqrt(1-x^2).

Для вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ, необходимо воспользоваться формулой цилиндрического метода. При этом мы будем рассматривать малый элемент объема в форме кольца с площадью основания dS(x) и толщиной dx, расположенного на расстоянии x от оси вращения.

1. Задана фигура, ограниченная полуэллипсом y = 3sqrt(1-x^2).

2. Необходимо вычислить объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси ОХ.

Рассмотрим элемент объема, расположенный на расстоянии x от оси вращения. Площадь основания этого элемента равна dS(x) = pi*y(x)^2, где y(x) - это расстояние от полуэллипса до оси вращения на расстоянии x. Используя уравнение полуэллипса, найдем:

y(x) = 3sqrt(1-x^2)

Тогда:

dS(x) = pi*y(x)^2 = 9pi*(1-x^2)

Объем элемента тогда равен:

dV(x) = dS(x)*dx = 9pi*(1-x^2)*dx

Интегрируя это выражение по всей области, получим объем тела:

V = ∫(от -1 до 1) 9pi*(1-x^2) dx = 18pi/5

Таким образом, объем тела, образованного вращением полуэллипса y = 3sqrt(1-x^2) вокруг оси ОХ, равен 18pi/5.10:00