полное исследование функции
А)
[tex]y = \frac{4 - 2x}{3x} [/tex]
Б)
[tex]y = \frac{1 - 2x {}^{2} }{4x} [/tex]
​

1) Область определения функции

D(y)=(–∞;+ ∞)

так как знаменатель отличен от нуля:

x²–2x+13 ≠ 0

D=(–2)²–4·13 <0

Значит, вертикальных асимптот нет

2)

Функция не является ни четной, ни нечетной

f(–х)=9+6(−x)−3(−x)

2

(−x)

2

−2(−x)+13

=9−6x−3x

2

x

2

+2x+13

f(–x) ≠ f(x)

f(–x) ≠– f(x)

3)

lim

x→+∞

f(x)=lim

x→+∞

9+6x−3x

2

x

2

−2x+13

=−3

lim

x→–∞

f(x)=lim

x→−∞

9+6x−3x

2

x

2

−2x+13

=−3

y=–3 – горизонтальная асимптота

Наклонной асимптоты нет, так как

k=lim

x→∞

f(x)

x

=9+6x−3x

2

x(x

2

−2x+13)

=0

4) Точки пересечения с осями координат

С осью ОХ: f(x)=0

9+6x−3x

2

x

2

−2x+13

=0

9+6x−3x

2

=0

Делим на (–3):

x

2

−2x−3=0

D=4+12=16

x=(2–4)/2=–1; x=(2+4)/2=3

(–1;0) и (3;0)–точки пересечения с осью Ох.

C осью Оу

х=0 ⇒ y=9+6⋅0−3⋅0

2

0

2

−2⋅0+13

=9

13

(0;9

13

)–точка пересечения с осью Оу.

5)

Исследование функции с помощью первой производной:

f‘(x)=(9+6x−3x

2

)‘⋅(x

2

−2x+13)−(9+6x−3x

2

)⋅(x

2

−2x+13)‘

(x

2

−2x+13)

2

f‘(x)=(6−6x)(x

2

−2x+13)−(9+6x−3x

2

)(2x−2)

(x

2

−2x+13)

2

f‘(x)=(2x−2)⋅(−3x

2

+6x−39−9−6x+3x

2

)

(x

2

−2x+13)

2

f‘(x)=(2x−2)⋅(−48)

(x

2

−2x+13)

2

f`(x)=0

2x–2=0

x=1

Знак производной

__ + __ (1) _____–__

y`>0 при x∈(–∞;1)

Функция возрастает при x∈(–∞;1)

y`< 0 при х∈ (1;+∞)

Функция убывает при x∈(1;+∞)

x=1– точка максимума, производная меняет знак с + на –

f(1)=9+6−3

1−2+13

=1

 – наибольшее значение функции

6)

Исследование функции с помощью второй производной:

f‘‘(x)=−48⋅(2x−2)‘⋅(x

2

−2x+13)

2

−(2x−2)⋅((x

2

−2x+13)

2

)‘

(x

2

−2x+13)

4

f‘‘(x)=−48⋅2⋅(x

2

−2x+13)

2

−(2x−2)⋅2(x

2

−2x+13)⋅(x

2

−2x+13)‘

(x

2

−2x+13)

4

f‘‘(x)=−48⋅2⋅(x

2

−2x+13)−(2x−2)⋅2⋅(2x−2)

(x

2

−2x+13)

3

f‘‘(x)=−48⋅2x

2

−4x+26−8x

2

+16x−8

(x

2

−2x+13)

3

f‘(x)‘=288⋅x

2

−2x−3

(x

2

−2x+13)

3

f‘‘(x)=0

 ⇒ x

2

−2x−3=0

x=–1; x=3 –точки перегиба,

вторая производная при переходе через точки меняет знак .

Функция выпукла вниз на (– ∞ ; – 1 ) и на (3 ;+ ∞ )

выпукла вверх на ( – 1;3 )