Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сравнения :
    1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2

Ответы 1

  • a_n=\frac{1}{n^2}\sim b_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.

    Ряд \sum b_n сходится, так как существует конечный предел его частичных сумм:

    S=\lim\limits_{n\to \infty}S_n=\lim\limits_{n\to \infty}(b_1+\ldots + b_n)=\lim\limits_{n\to \infty}(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=

    =\lim\limits_{n\to \infty}(1-\frac{1}{n+1})=1.

    Поэтому ряд \sum a_n сходится по признаку сравнения в предельной форме.

    Замечание. Можно было воспользоваться и другим признаком сравнения, воспользовавшись для любого n>1 неравенством

    a_n=\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n-1)n}.

    • Автор:

      skipfritz
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years