Известно, что для положительных чисел a, b, c каждое из трех уравнений ax^2+15bx+c=0 bx^2+15cx+a=0 cx^2+15ax+b=0 имеет

Выписываем неравенства с дискриминантами: 225b^2>=4ac, 225c^2>=4ab, 225a^2>=4bc. По теореме Виета, c/a=9, то есть c=9a, и это выражение можно всюду подставить. Можно при этом предварительно разделить на a^2 все неравенства. Получится 225(b/a)^2>=36, то есть (b/a)^2>=4/25, и тогда для произведения корней второго уравнения имеем a/b<=5/2. Второе неравенство можно не учитывать, так как оно равносильно 225c^3>=4abc, что слабее третьего неравенства, равносильного 225a^3>=4abc за счёт c>a. Таким образом, третье неравенство даёт 225>=36b/a, откуда a/b>=4/25. Это и даёт наименьшее значение: оно достигается при a=4, b=25, c=36.