В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны BC и AD параллельны, а стороны AB и CD не параллельны, биссектриса угла ABC

Впишем четырехугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами, параллельными диагоналям (EF || AC и EH || BD) - смотри рисунок. Пусть L - точка пересечения прямых DC и EF, а M - точка на прямой HG такая, что LM || FG . Тогда ABLC - параллелограмм, следовательно, AB = CL. Так как GM = FL = EB = HD и AH = CG, то \triangle AHD = \triangle CGM , следовательно, AD = CM. В силу неравенства треугольника BM £ BC+CM = BC+AD . Но BM = DL как диагонали прямоугольника BLDM, и DL = DC +CL = DC+AB. Следовательно, AD+BC ³ DL = DC +CL = DC+AB, что и требовалось доказать.