Геометрический смысл градиента функции z=z(x,y)
Правильно ли я понимаю, что вектор градиента в какой-то точке М на плоскости XOY лежит в этой плоскости и его координаты относительно точки М определяются векторами скорости возрастания функции в данной точке по осям OX и OY, то-есть частными производными ?

Если мы имеем некоторую скалярную функцию, определенную, скажем в трехмерном пространстве, f(x,y,z), то мы вправе ввести понятие производной по направлению (в случае функции двух переменных все тоже самое). Что такое производная по направлению, мы задаем некоторое направление (обычно задается вектором, пусть будет вектор L). Можно строго доказать, что производная функции f(x,y,z) по направлению L, представляет собой не что иное как скалярное произведение двух векторов Grad f - вектора, компоненты которого есть частные производные функции f по x, y, z, и вектора L.Зададим себе вопрос, при каком векторе направления производная по этому направлению будет максимальна (другими словами, в какую сторону необходимо двигать аргумент, чтобы функция изменялась быстрее всего). Известно, что скалярное произведение максимально, когда cos угла между векторами равен 1, а это значит, что вектор L направления должен совпадать с вектором Grad f. Таким образом логичен вывод - вектор градиента есть вектор наибыстрейшего роста функции. Если взять произвольную точку в которой определена функция, то если мы будем двигаться именно по направлению градиента функции в этой точке, функция будет максимально расти.