Докажите что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 3

Будем действовать так. Возьмем произвольное число и обозначим его через а. Второе число будет а+1. Третье а+2. Теперь требуется найти сумму кубов этих трех чисел. а³+(а+1)³+(а+2)³. Раскрываем скобки. Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведения квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа. Раскрываем и получаем что а³+а³+3а²*1+3а*1²+1³+а³+3а²*2+3а*2²+2³=а³+а³+3а²+3а+1+а³+6а²+12а+8=3а³+9а²+15а+9. Можно сократить на 3 и вынести за скобку 3 получаем 3*(а³+3а²+5а+3). Это выражение делится на 3 в любом случае. Что и требовалось доказать.