C помощью производной докажите неравенство: tgx - x > 0 при всех x принадлежит (0;п/2)

Докажем, что на интервале (0;π/2) функция f(x) = tgx - x является возрастающей. Для этого найдем производную этой функции и покажем, что на интервале (0;π/2) производная этой функции положительна.Производная функции tgx равна 1/cos^2x, следовательно, f\'(x) = 1/cos^2x - 1.На интервале (0;π/2) функция cosx удовлетворяет следующему двойному неравенству 0 < cosx < 1, следовательно, на этом интервале функция cos^2x удовлетворяет такому же двойному неравенству 0 < cos^2x < 1, следовательно на этом интервале функция 1/cos^2x удовлетворяет неравенству 1/cos^2x > 1. Отсюда следует, что производная f\'(x) = 1/cos^2x - 1 положительна на интервале (0;π/2), а значит, функция f(x) = tgx - x возрастает на данном интервале. При х = 0 значение tgx равно 0, следовательно, при х = 0, f(x) = tgx - x = 0. Поскольку данная функция равна нулю на левом конце интервала (0;π/2) и возрастает на этом интервале, она будет больше нуля в любой точке внутри данного интервала. Таким образом, tgx - x > 0 при всех x Є (0;п/2).