Найдите производную функцию f(x)=(x^2-x+1)/x^2 и вычислите f (1)

Решение:

Найдём производную функции: f(x) = (x² – x + 1) / x²

Эту функцию можно записать так:

f(x) = (x² – x + 1) / x² = x^(-2) * (x² – x + 1)

Воспользовавшись формулами:

1) (xⁿ)’ = n* x^(n-1) (производная основной элементарной функции)

2) (с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции)

3) (u * v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования)

4) (uv)’ = u’v + uv’ (основное правило дифференцирования)

И так, найдем  поэтапно производную:

1) (x^(-2))’ = -2* x^(-2-1) = -2х^-3

2) (х² – х + 1)’ = (x²)’ + (-x)’ + (1)’ = 2х – 1 + 0 = 2х – 1

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f(x)’ = ((x² – x + 1) / x²)’ = (x^(-2) * (x² – x + 1))’ = (x^(-2))’ * (x² – x + 1) + x^(-2) * ((x² – x + 1))’ = (-2х^-3) * (x² – x + 1) + x^(-2) * (2х – 1) = (2х – 1) / x^(-2) – 2 *(x² – x + 1) / х^-3

Найдем f’(1):

f’(1) = (2 * 1 – 1) / 1^(-2) – 2 * (1² – 1 + 1) / 1³ = (2 – 1) / 1 – 2 * (1 – 1 + 1) / 1 = 1 – 2 * 1 = 1 – 2 = -1

Ответ: f’(1) = -1