Найдите наименьшее значения произведения (1+x/y)(1+y/z)(1+z/x) для положительных значений переменных.

Найдите наименьшее значения произведения (1+x/y)(1+y/z)(1+z/x) для положительных значений переменных.Решение:Каждый множитель представим в качестве неравенства:1-2√(x/y)+x/y≥01-2√(y/z)+y/z≥01-2√(z/x)+z/x≥0Далее переместим отрицательные переменные вправо:1+x/y≥2√(x/y)1+y/z≥2√(y/z)1+z/x≥2√(z/x)Теперь необходимо перемножить имеющиеся неравенства:(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)≥2√(x/y)*2√(y/z)*2√(z/x)(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)≥8√((xyz)/(xyz))Сокращаем дробь в правой части и получаем конечное неравенство:(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)≥8Таким образом наименьшее значение произведения 8.Ответ:8