При каких значения параметра a неравенство верно для всех x: (8x^2−20x+16)/(4x^2+10x+7)≤a?

   1. Неравенство верно для всех x (http://bit.ly/2uhYsqY):

      (8x^2 - 20x + 16)/(4x^2 + 10x + 7) ≤ a,

значит, следующее неравенство не должно иметь решений:

      (8x^2 - 20x + 16)/(4x^2 + 10x + 7) > a. (1)

   2. Знаменатель не имеет корней и всегда больше нуля:

      D/4 = 5^2 - 4 * 7 = -3 < 0.

   Поэтому можно умножить неравенство (1) на него:

• 8x^2 - 20x + 16 > a(4x^2 + 10x + 7);
• a(4x^2 + 10x + 7) - 8x^2 + 20x - 16 < 0;
• (4a - 8)x^2 + (10a + 20)x + (7a - 16) < 0;
• (4a - 8)x^2 + 2(5a + 10)x + (7a - 16) < 0. (2)

   3. Неравенство (2) не имеет решений при положительном первом коэффициенте и при не положительном дискриминанте:

• 4a - 8 > 0;
• a > 2;
• a ∈ (2; ∞);

• D/4 = (5a + 10)^2 - (4a - 8)(7a - 16) = -3a^2 + 220a - 28;
• -3a^2 + 220a - 28 ≤ 0;
• 3a^2 - 220a + 28 ≥ 0;

• D/4 = 110^2 - 3 * 28 = 12100 - 84 = 12016 = 16 * 751;
• a = (110 ± 4√751)/3;

• a1 = (110 - 4√751)/3 ≈ -0,127;
• a2 = (110 + 4√751)/3 ≈ 73,206;

• {a ∈ (-∞; a1] ∪ [a2; ∞);{a ∈ (2; ∞);
• a ∈ [a2; ∞);
• a ∈ [(110 + 4√751)/3; ∞).

   Ответ: a ∈ [(110 + 4√751)/3; ∞).