Найдите интервал возрастания функции f(x)=2x/1+x^2. В ответ запишите длину этого интервала.

f(x) = 2x/(1 + x^2) – исследуем функцию с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к 0.f’(x) = (2x/(1 + x^2))’ – применим формулу (u/v)’ = (u’v – uv’)/v^2, где u = 2x, v = 1 + x^2;f’(x) = ((2x)’ * (1 + x^2) – 2x * (1 + x^2)’)/(1 + x^2)^2 = (2(1 + x^2) – 2x * 2x)/(1 + x^2)^2 = (2 + 2x^2 – 4x^2)/(1 + x^2)^2 = (2 – 2x^2)/(1 + x^2)^2;(2 – 2x^2)/(1 + x^2)^2 = 0 – дробь равна 0 тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0;1) 2 – 2x^2 = 0;- 2x^2 = - 2;2x^2 = 2;x^2 = 2/2;x^2 = 1;x1 = 1;x2 = - 1. 2) 1 + x^2 ≠ 0Отметим числа - 1 и 1 на числовой прямой. Эти числа делят прямую на три промежутка: 1) (- ∞; - 1), 2) (- 1; 1), 3) (1; + ∞). Проверим знак производной в каждом промежутке. На 1 и 3 промежутках производная отрицательна, а на втором промежутке – положительна. Функция возрастает на том промежутке, где производная положительна, а это промежуток (- 1; 1), его длина равна |- 1| + |1| = 1 + 1 = 2.Ответ. 2.